Diario de Navarra

Todos sabemos que existen números infinitos, esa magnitud incomensurable que significa que no se termina nunca. Permítame al respecto una pregunta. ¿Cuántos números pares existen? Infintos, ¿verdad? Entonces, ¿cuáles son más, todos los números o sólo los pares? A todos nos parece que los números pares son la mitad de todos los números. Sin embargo, hemos quedado en que ambos son infinitos, es decir, que habría los mismos números en total que pares. El infinito es un concepto extraño, pero también muy sugestivo, que atrae por su inmensidad. Nada hay más allá que el infinito, por mucho que Buzz Lightyear se lo propusiera en Toy Story. Es fácil encontrar camisetas o tatuajes con el símbolo del infinito, ese ocho tumbado que inventó en el siglo XVII el matemático John Wallis. El caso es que el infinito es una cantidad tan compleja, tan grande, tan extraña que da lugar a decenas de paradojas, a puntos donde los razonamientos habituales se dan de bruces con la lógica matemática, como cuando intentamos saber si los números pares son menos o igual que el total de los números. Una de la metáforas más célebres que se han inventado para visualizar esos infinitos la ideó el matemático David Hilbert. Hace falta un poco de imaginación, pero tampoco es de esas cosas imposibles de la matemática. Imagine que es el recepcionista de un hotel un tanto especial, porque tiene un número de habitaciones infinitas. También es un hotel de éxito, debe de estar en buen lugar y en temporada alta: todas las habitaciones están ocupadas. Los dueños del hotel saben que usted es un buen rececpcionista, todo un profesional, por eso han lanzado una oferta que le puede complicar la vida: se han comprometido a que siempre habrá una habitación para un nuevo cliente. Tarde o temprano, ese viajero aparece y le pide una habitación. Usted, recepcionista, tiene las infinitas habitaciones ocupadas pero debe cumplir el compromiso de alojar a cualquier nuevo cliente. ¿Cómo hacerlo? Simplemente, tiene que mover a los clientes. El que ocupa la habitación 1 se mueve a la 2, el de la 2 a la 3, el de la 3 a la 4 y así sucesivamente. El nuevo se queda con la 1. La paradoja de Hilbert tiene un segundo episodio, quizá más intrincado. Imagine que quienes llegan no son un viajero solitario, sino unos autobuses infinitos que traen a un número infinito de pasajeros que quieren pasar la noche en su hotel. ¿Cómo lograrlo? Tampoco es difícil. Basta con mover a los viajeros de su habitación a la que hace el doble. Es decir, el de la 1 a la 2, el de la 2 a la 4, el de 3 a la 6, el de la 4 a la 8... y así sucesivamente. Los huéspedes antiguos se quedan en las habitaciones pares, pero dejan libres las impares, que como se sabe son infinitas y suficientes para albergar a los infinitos viajeros del autobús. Es más, incluso existe un método, que utiliza los números primos y los eleva al cuadrado, que permite al recepcionista responder cuando le avisan de que van a a llegar un infinito número de excursiones, todas con un número infinito de viajeros. El recepcionista de un hotel infinito ha de andar ágil en el cálculo. Y ser paciente con las quejas de los huéspedes molestos por tanto traslado de habitaciones. Pero eso ya es harina de otro costal, no matemático.

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¿Cómo se llena un hotel infinito?

Una famosa paradoja matemática habla de un hotel con infinitas habitaciones, todas ellas ocupadas. ¿Cómo hacer si llega un cliente más?

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